Odbrana završnog rada na drugom ciklusu studija

Kandidatkinja Hidajeta Ljevaković će braniti završni rad na drugom ciklusu studija pod nazivom “KONSTRUKCIJA GLOBALNOG RJEŠENJA ZA JEDNODIMENZIONALNI SINGULARNO-PERTURBACIONI RUBNI PROBLEM” u petak 18.12.2020. godine na PMFu u 12,00 sati.

U ovom radu konstruisano je globalno rješenje bazirano na linearnom splineu, za jednodimenzionalni singularno-perturbacioni rubni problem $\varepsilon^2 y”-f(x,y)=0,  y(0)=y(1)=0.$

Konstrukcija je urađena u dva koraka. U prvom koraku konstruisano je diskretno rješenje, na osnovu kojeg je konstruisano globalno rješenje. Da bi se izračunalo diskretno rješenje metodom koju je uveo Igor Boglaev, prvo je pomoću Greenove funkcije konstruisana diferentna shema, koja generiše sistem nelinearnih jednačina. Rješavanjem tog sistema dobiveno je diskretno, a zatim i globalnog rješenje.

Zatim je diferentnoj shemi pridružen odgovarajući diskretni operator, a na osnovu inverzne monotonosti tog operatora, teorije M–matrica i Hadamardove teoreme, pokazano je da postoji jedinstveno diskretno rješenje i da je numerička metoda stabilna. Osim toga, pokazano je da diskretno rješenje $\varepsilon$–uniformno konvergentno reda $\mathcal{O}(\ln^2N/N^2)$, te da je globalno rješenje istog reda konvergencije na modifikovanoj Šiškinovoj mreži. Uniformna konvergencija diferentne sheme pokazana je preko koncepta stabilnosti i konzistentnosti. Konzistentnost je pokazana korištenjem Taylorovog razvoja, s tim da je prethodno izvršena normalizacija diferentne sheme.

Pomoću Taylorovog razvoja procijenjena je vrijednost greške u maksimum normi za diskretno i globalno rješsenje. Pokazana je da je vrijednost greške globalnog rješenja reda $\mathcal{O}(\ln^2/N^2)$. Nakon završene teorijske analize autorica je pristupila izradi numeričkih eksperimentima, gdje je izračunala da vrijednost greške $E_N$ i brzinu konvergencije Ord. Za testiranje je koristila programski jezik Julia. Na dva različita primjera testirane su diferentne sheme, na različitim slojno–adaptivnim mrežama. Prvo je testirana linearna diferencijalna jednačina sa poznatim tačnim rješenjem, a zatim nelinearna diferencijalna jednačina kod koje nije poznato tačno rješenje.