Odbrana završnog rada na drugom ciklusu studija

Kandidatkinja Irma Zenunović će braniti završni rad na drugom ciklusu studija pod nazivom “KONSTRUKCIJA I ANALIZA NEKIH DIFERENTNIH ŠEMA ZA NUMERIČKO RJEŠAVANJE SEMILINEARNOG PERTURBACIONOG REAKCIONO-DIFUZNOG RUBNOG PROBLEMA” u četvrtak 24.12. 2020. godine na PMFu u 12,00 sati.

U ovom radu konstruisana je diferentna shema za računanje diskretnog numeričkog rješenja za jednodimenzionalni singularno-perturbacioni rubni problem $\varepsilon^2 y”-f(x,y)=0, y(0)=y(1)=0.$

Ova diferentna shema konstruisana je na osnovu reprezentacije tačnog rješenja preko Greenove funkcije, tj. metodom koju je uveo Igor Boglaev 1984. godine. Poslije toga izvršena je analiza ove sheme. Na osnovu diferentne sheme konstruisan je odgovarajući diskretni operator, zatim je pokazana stabilnost konstruisane sheme, egzistencija i jedinstvenost numeričkog rješenja za proizvoljnu podjelu domena. Ovaj dio analize uradjen je na osnovu inverzne monotonosti ovog diskretnog operatora, teorije matrica i odgovarajuće Hadamardove teoreme. Poslije toga procijenjena je vrijednost greške koja iznosi $\mathcal{O}(\ln^2N/N^2)$ i pokazano je da je metoda $\varepsilon$–uniformno konvergentna. Ovaj dio analize urađen je na modifikovanoj Šhiškinovoj mreži.

Zbog pojednostavljenja analize greške uradjena je modifikacija diferentne sheme, hiperboličke funkcije koje su pojavljuju u diferentnoj shemi zamijenjene su Taylorovim polinomom sa jednim ili dva člana. Opet je izvršena potpuna analiza diferentne sheme, pokazana je stabilnost, egzistencija i jedinstvenost diskretnog numeričkog rje\v senja. Poslije, ako i u prethodnom slučaju preko koncepta konzistentnosti, pokazana je $\varepsilon$–unifomna konvergencija, te je pokazan red greške koji ponovo iznosi $\mathcal{O}(\ln^2N/N^2)$ na modifikovanoj Šiškinovoj mreži.

Da bi zamijenili modifikovanu Šiškinovu mrežu, sa jednostavnijom Šisšinovom mrežom, autorica je konstruisala hibridnu shemu na osnovu prethodno dobijenih rezultata u ovom radu. Ponovo je izvršena potpuna analiza, potvrdjeni su svi rezultati koji su o\v cekivani, ali ovaj put na Šiškinovoj mreži.

Nakon završene teorijske analize autorica je pristupila izradi numeričkih eksperimentima, gdje je izračunala vrijednost greške $E_N$ i brzinu konvergencije Ord. Za testiranje je koristila programski jezik Julia. Na dva različita primjera testirane su diferentne sheme, na različitim slojno–adaptivnim mrežama. Prvo je testirana linearna diferencijalna jednačcina sa poznatim tačnim rješenjem, a zatim nelinearna diferencijalna jednačina kod koje nije poznato tačno rješenje.